视频字幕
在三维空间中，向量值函数的应用更加广泛。考虑一个向量值函数 r(t) = ⟨2cos(t), 2sin(t), 3t⟩，它描述了一个螺旋线。这个螺旋线的半径是2，螺距是3。这个向量值函数 r(t) = ⟨2cos(t), 2sin(t), 3t⟩ 描述了螺旋线上任意一点的位置向量。我们可以计算这个位置向量的模长，它等于根号下 4cos²t + 4sin²t + 9t²，也就是根号下 4 + 9t²。这说明位置向量的长度是随着时间增长的。通过对位置向量函数求导，我们可以得到速度向量 r'(t) = ⟨-2sin(t), 2cos(t), 3⟩。这个速度向量的模长是根号下 4sin²t + 4cos²t + 9，也就是根号下 13。这说明速度向量的长度是恒定的。这种螺旋运动在自然界和工程中都有广泛应用。比如弹簧的螺旋结构，以及DNA分子的双螺旋结构，都体现了螺旋运动的普遍性。