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向量值函数可以简洁地描述物体的运动轨迹。例如，设向量函数 r(t) = ⟨3cos(t), 3sin(t)⟩，这表示一个半径为3的圆周运动。当参数t从0变化到2π时，向量的终点会描绘出一个完整的圆。对向量值函数求导可以得到速度向量。在这个圆周运动的例子中，r(t)的导数r'(t) = ⟨-3sin(t), 3cos(t)⟩。这个速度向量始终垂直于位置向量，并且指向运动轨迹的切线方向。这体现了向量值函数在描述运动时的直观性。通过这个例子，我们可以看到向量值函数在描述圆周运动时的简洁性和直观性。位置向量r(t) = ⟨3cos(t), 3sin(t)⟩完整地刻画了轨迹，而速度向量r'(t) = ⟨-3sin(t), 3cos(t)⟩则揭示了运动的方向和垂直关系。这种数学工具在物理、工程等领域有广泛应用。