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勾股定律是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边之间的关系。在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在中国古代被称为勾股定理，其中勾指较短的直角边，股指较长的直角边，弦指斜边。
勾股定律的数学表达式为：a的平方加b的平方等于c的平方。其中a和b是直角边，c是斜边，也就是最长的边。让我们用一个具体的例子来验证：当a等于3，b等于4时，c应该等于5。计算得出：3的平方加4的平方等于9加16等于25，而5的平方也等于25，所以等式成立。
现在我们用几何方法来证明勾股定律。最经典的证明是面积证明法。我们构造一个边长为a加b的大正方形，内部包含4个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于c的平方加上4个三角形的面积。每个三角形面积是二分之一ab，所以总面积是c平方加2ab。展开a加b的平方得到a平方加2ab加b平方。两式相等，消去2ab，就得到a平方加b平方等于c平方。
勾股定律在实际生活中有着广泛的应用。在建筑工程中，工人们用勾股定律来确保墙体垂直，比如用3-4-5的比例来检验直角。在导航系统中，GPS利用勾股定律计算两点间的直线距离。在测量学中，当无法直接测量距离时，可以通过勾股定律间接计算。此外，在物理学的力的分解、计算机图形学的坐标变换等领域，勾股定律都发挥着重要作用。