视频字幕
双参数不等式是数学分析中的重要问题。我们将学习三种主要的解决方法。第一种是转化法，通过已知条件寻找双参数的关系式，将含双参数的不等式转化为含单参数的不等式。第二种是巧构函数法，构造合适的函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值。第三种是回归证明法，把所求的最值应用到双参不等式的证明中。
现在我们来看题型一：双变量单调问题。已知函数 f(x) = x ln x，当 a = 1 时，我们需要求曲线 y = f(x) 在 x = 1 处的切线方程。首先计算函数值 f(1) = 1 × ln 1 = 0，所以切点为 (1, 0)。然后求导数 f'(x) = ln x + 1，在 x = 1 处的导数值为 f'(1) = ln 1 + 1 = 1，这就是切线的斜率。因此切线方程为 y - 0 = 1 × (x - 1)，即 y = x - 1。
现在我们来证明双参数不等式。设 g(x) = f(x) - ax，我们需要证明对任意 x₁, x₂ ∈ (0,+∞)，x₁ ≠ x₂，有 |f(x₁) - f(x₂)| < |x₁ - x₂|。当 a = 1 时，g(x) = x ln x - x，求导得 g'(x) = ln x。由于在 (0,1) 上 g'(x) < 0，函数单调递减；在 (1,+∞) 上 g'(x) > 0，函数单调递增。不妨设 x₁ < x₂，则不等式等价于证明 (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) < 1。
为了完成证明，我们构造辅助函数 h(t) = g(t) - g(x₁) - (t - x₁)。显然 h(x₁) = 0，而 h(x₂) = g(x₂) - g(x₁) - (x₂ - x₁)。对 h(t) 求导得到 h'(t) = g'(t) - 1 = ln t - 1。当 t 在 (0,1) 时，h'(t) < 0，函数递减；当 t 在 (1,+∞) 时，h'(t) > 0，函数递增。因此 h(t) 在 t = 1 处取得最小值 h(1) = -1。这个构造函数的方法帮助我们找到了关键的最值。
现在我们利用前面求得的最值来完成双参数不等式的证明。由于 h(t) 在 t = 1 处取最小值 -1，所以对任意 t > 0，都有 h(t) ≥ -1。特别地，h(x₂) ≥ -1，即 g(x₂) - g(x₁) - (x₂ - x₁) ≥ -1。整理得到 (g(x₂) - g(x₁))/(x₂ - x₁) ≥ -1/(x₂ - x₁)。当 x₂ - x₁ > 0 时，我们得到 (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) < 1。因此原不等式 |f(x₁) - f(x₂)| < |x₁ - x₂| 得到证明。这展示了双参数不等式证明的完整过程：转化、构造函数、求最值、回归证明。