波动方程是物理学中描述波在介质中传播的基本微分方程。今天我们将从最简单的弦振动开始，逐步推导出这个重要的方程。弦在平衡位置附近的小振动可以用函数y(x,t)来描述，其中x是位置坐标，t是时间。
为了推导波动方程，我们需要分析弦上一个微小段的受力情况。考虑长度为dx的微元，其质量为ρdx，其中ρ是弦的线密度。这个微元受到两端张力T的作用，张力的方向沿着弦的切线方向。
现在我们分析张力在垂直方向的分量。左端的张力与水平方向成角度θ₁，其垂直分量为T sin θ₁，方向向下。右端的张力与水平方向成角度θ₂，其垂直分量为T sin θ₂，方向向上。这两个垂直分量的合力将产生微元在垂直方向的加速度。
现在应用牛顿第二定律。微元的质量ρdx乘以加速度等于垂直方向的合外力。在小角度近似下，正弦值近似等于正切值，即偏导数。经过数学推导，我们得到了著名的一维波动方程，其中v等于根号下T除以ρ，代表波的传播速度。