3．（2011•辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞） 【考点】其他不等式的解法． 【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4）， 则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0， 又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0， 即F（x）在R上单调递增， 则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞）， 即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）． 故选B 【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题． 5．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）= 为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可． 【解答】解：设g（x）= ，则g（x）的导数为：g′（x）= ， ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立， 即当x＞0时，g′（x）恒小于0， ∴当x＞0时，函数g（x）= 为减函数， 又∵g（﹣x）= = = =g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）= =0， ∴函数g（x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0 ⇔ 或 ， ⇔0＜x＜1或x＜﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法 7．设函数f（x）=lnx﹣x+1． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x； （3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值． 【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域； （2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立； （3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式． 【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）= ﹣1， 由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1． 即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）； （2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx． 由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减， 可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1； 设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx， 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0， 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立； （3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx， 则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）； G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，G′′（x）=﹣（lnc）2cx＜0， ∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc， 由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0， ∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0； 即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减； 又因为：G（0）=G（1）=0， ∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证； 即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题． 8.设 ， ． （1）求 的单调区间和最小值； （2）讨论 与 的大小关系； （3）求 的取值范围，使得 ＜ 对任意 ＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数 ，再求得 ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意 ＞0成立的恒成立问题转化为函数 的最小值问题． 【解】（1）由题设知 ， ∴ 令 0得 =1， 当 ∈（0，1）时， ＜0， 是减函数，故（0，1）是 的单调减区间。 当 ∈（1，+∞）时， ＞0， 是增函数，故（1，+∞）是 的单调递增区间， 因此， =1是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 的最小值为 (2) 设 ，则 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ， 因此， 在 内单调递减， 当 时， 即 （3）由（1）知 的最小值为1，所以， ，对任意 ，成立 即 从而得 。 　9．已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ + ，求k的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值． （II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围． 【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1） （Ⅰ） 由于直线x+2y﹣3=0的斜率为 ，且过点（1，1），故 即 解得a=1，b=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ）． 考虑函数 （x＞0），则 ． （i）设k≤0，由 知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得 ； 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得 h（x）＞0 从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（ + ）＞0，即f（x）＞ + ． （ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1， ）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而 h（1）=0，故当x∈（1， ）时，h（x）＞0，可得 h（x）＜0，与题设矛盾． （iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得 h（x）＜0，与题设矛盾． 综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]． 【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．