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LQR算法，全称线性二次调节器，是现代控制理论中的一种重要最优控制方法。它通过最小化一个二次型性能指标，为线性系统设计最优的反馈控制器，使系统能够快速稳定地从任意初始状态收敛到目标状态。
LQR问题的数学描述包含三个核心要素。首先是线性系统的状态方程，描述系统动态。其次是二次型性能指标，平衡状态调节和控制能耗。最后通过求解黎卡提方程得到最优控制律，实现状态反馈控制。
LQR算法的求解分为四个关键步骤。首先根据控制目标设置状态权重矩阵Q和控制权重矩阵R。然后求解代数黎卡提方程得到解矩阵P。接着计算反馈增益矩阵K。最后实现最优控制律，完成闭环控制系统设计。
这里展示了LQR控制器的实际效果。从不同初始状态出发的系统轨迹都能快速稳定地收敛到目标点。LQR控制器具有收敛速度快、控制平滑、全局稳定和鲁棒性好等优点，是现代控制系统设计的重要工具。