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我们来分析一个三次函数的性质问题。对于函数f(x)等于x的三次方减3x的平方加2，我们需要找到它的单调区间和极值点。通过求导可以得到f'(x)等于3x的平方减6x，令导数为零可得x等于0和x等于2这两个关键点。
现在我们来求参数a的值。由于函数在负无穷到0上是增函数，在0到2上是减函数，这表明x等于0是极大值点。对函数求导得到f'(x)等于3x平方减6x加a。由于x等于0是极值点，所以f'(0)等于0，即a等于0。
接下来证明方程还有其他实根。由于x等于1是方程的一个根，我们可以进行因式分解。将f(x)分解为(x减1)乘以(x平方减2x减2)。解二次方程x平方减2x减2等于0，得到x等于1加减根号3。因此三个根分别是1减根号3、1、1加根号3，它们构成等差数列。
最后求函数极大值小于m的取值范围。我们已经确定x等于0是极大值点，计算f(0)等于2，这就是函数的极大值。要使极大值小于m，即2小于m，因此m的取值范围是m大于2。
通过这道三次函数问题的完整分析，我们系统地学习了如何利用函数的单调性确定极值点，通过导数为零求参数值，用因式分解方法求所有实根，验证等差数列性质，以及利用极值条件求参数范围。这类综合题目很好地考查了函数的多个重要性质。