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二次函数有三种重要的解析式形式。一般式是最常见的形式，包含所有系数信息。顶点式直接显示抛物线的顶点坐标和对称轴。零点式则清楚地表示函数与x轴的交点。这三种形式在解决不同问题时各有优势。
二次函数的图像是抛物线，具有重要的几何性质。当系数a大于零时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，右侧递增，在顶点处取得最小值。当a小于零时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，右侧递减，在顶点处取得最大值。
判断一元二次方程实根的符号需要综合考虑判别式和韦达定理。当方程有两个不等正根时，需要判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零。当有两个不等negative根时，判别式大于零、两根之和小于零、两根之积大于零。当有一正一负根时，只需两根之积小于零。
研究一元二次方程根的分布问题是重要的数学内容。需要综合考虑四个关键因素：抛物线的开口方向、判别式的符号、对称轴与区间的位置关系，以及区间端点处函数值的正负性。例如，要使方程在区间内有两个不等实根，需要开口向上、判别式大于零、对称轴在区间内部、且两端点函数值同号且与开口方向一致。
二次函数在闭区间上的最值问题是重要考点。解题关键是抓住三点一轴的方法：三点指区间两端点和中点，一轴指对称轴。需要根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论：轴在区间左侧时，函数单调递增；轴在区间右侧时，函数单调递减；轴在区间内部时，最值在顶点和端点中产生。