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我们来分析这个积分问题。首先观察被积函数的结构，分子是两个因式的乘积，分母含有根号x。我们需要先展开分子，得到3根号x乘以x减去15根号x加上2x减去10。然后将其写成幂的形式，即3x的三分之二次方减去15x的二分之一次方加上2x减去10。
现在我们将分子的每一项除以分母四倍根号x。首先分离各个积分项，然后化简每一项。注意根号x等于x的二分之一次方。应用指数法则，x的三分之二次方除以x的二分之一次方等于x的一次方。最终我们得到四个简单的积分项：四分之三x的积分，负四分之十五的积分，二分之一x的二分之一次方的积分，以及负二分之五x的负二分之一次方的积分。
现在我们对每一项分别进行积分。使用幂函数的积分公式。第一项，四分之三x的积分等于四分之三乘以x平方除以2，得到八分之三x平方。第二项，四分之十五的积分等于四分之十五x。第三项，二分之一x的二分之一次方的积分，等于二分之一乘以x的三分之二次方除以三分之二，化简得到三分之一x的三分之二次方。第四项，二分之五x的负二分之一次方的积分，等于二分之五乘以x的二分之一次方除以二分之一，得到5倍根号x。
现在我们将所有积分结果合并。注意第二项和第四项前面有负号。合并后得到八分之三x平方减去四分之十五x加上三分之一x的三分之二次方减去5x的二分之一次方，再加上积分常数C。将幂的形式写成根号形式，x的三分之二次方等于x倍根号x，x的二分之一次方等于根号x。所以最终答案是八分之三x平方减去四分之十五x加上三分之一x根号x减去5根号x加上常数C。我们可以通过对结果求导来验证答案的正确性。
现在我们通过求导来验证答案的正确性。对积分结果F(x)求导，第一项三x平方除以8的导数是六x除以8等于四分之三x。第二项负十五x除以4的导数是负四分之十五。第三项三分之一x的三分之二次方的导数是三分之一乘以二分之三x的二分之一次方，等于二分之一根号x。第四项负5根号x的导数是负二分之五除以根号x。合并这些项，我们得到四分之三x减去四分之十五加上二分之一根号x减去二分之五除以根号x。这正好等于原来的被积函数，验证了我们的答案是正确的。