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周期函数是数学中的重要概念。对于函数y等于f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)等于f(x)，那么就称函数y等于f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。以正弦函数为例，它的周期是2π，这意味着函数值每隔2π就会重复一次。
周期函数有重要的性质。如果T是函数f(x)的周期，那么kT，其中k是非零整数，也是f(x)的周期。这意味着函数不仅以T为周期重复，也以2T、3T等为周期重复。在所有周期中，如果存在一个最小的正数，我们称它为最小正周期。对于正弦函数，最小正周期是2π。
判定周期函数有多个重要结论。结论1：如果f(x+a)等于负f(x)，那么f(x)的一个周期为2a。这是因为函数值在间隔a后变为相反数，再经过a后又变回原值。结论2：如果f(x+a)等于1除以f(x)，那么f(x)的一个周期也为2a。这些结论为我们判定函数的周期性提供了有力工具。
函数的对称性与周期性有密切关系。结论7告诉我们，若函数f(x)关于直线x等于a与x等于b对称，则f(x)的一个周期为2倍的|b减a|。以余弦函数为例，它关于x等于0和x等于π对称，所以周期为2π。结论9说明，若函数既有轴对称又有点对称，则周期为4倍的|b减a|。这些结论将对称性与周期性联系起来。
让我们通过一个典型例题来应用周期函数的性质。题目：若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)等于1，f(2)等于2，则f(3)减f(4)等于多少？解题过程：由f(x+2)等于f(x)可得，f(3)等于f(1+2)等于f(1)等于1，f(4)等于f(2+2)等于f(2)等于2，所以f(3)减f(4)等于1减2等于负1。这个例题展示了如何利用周期性来计算函数值。