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对于定义域关于原点对称的函数f(x)，我们总能将其分解为一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)的和。偶函数部分g(x)等于二分之一乘以f(x)加f负x，奇函数部分h(x)等于二分之一乘以f(x)减f负x。这样，原函数就等于g(x)加h(x)。
奇函数和偶函数在关于原点对称的区间上具有不同的单调性规律。奇函数在对称区间上具有相同的单调性，比如函数f(x)等于x的三次方，在负区间和正区间都是递增的。而偶函数在对称区间上具有相反的单调性，比如函数g(x)等于x的平方，在负区间递减，在正区间递增。
复合函数的奇偶性遵循简单的规律：内偶则偶，两奇为奇。当内函数是偶函数时，无论外函数是什么，复合函数都是偶函数，比如f(x)等于sin(x²)。当内外函数都是奇函数时，复合函数是奇函数，比如g(x)等于x³乘以sin(x)。这些规律帮助我们快速判断复合函数的奇偶性。
指数型函数具有特殊的奇偶性规律。函数f(x)等于a的x次方加a的负x次方是偶函数，其图像关于y轴对称。函数g(x)等于a的x次方减a的负x次方是奇函数，其图像关于原点对称。类似地，函数h(x)等于a的x次方加1除以a的x次方减1也是奇函数。这些规律在解题中非常有用。
让我们通过一个典型例题来巩固所学知识。题目问：下列函数中，既是偶函数又在零到正无穷上单调递增的是哪个？选项A是2x³，这是奇函数，不符合。选项B是|x|+1，这是偶函数，且在正区间单调递增，符合条件。选项C是负x²+4，虽然是偶函数，但在正区间单调递减。选项D是2的负|x|次方，是偶函数但在正区间单调递减。因此答案是B。