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我们来解决一个函数值域问题。给定函数f(x)等于sin平方x加cos x，要求其值域。解题的关键是使用换元法，令t等于cos x，由于余弦函数的值域是负1到1，所以t属于闭区间负1到1。通过恒等式sin平方x等于1减cos平方x，我们可以将原函数转化为关于t的二次函数：f(t)等于负t平方加t加1。这是一个开口向下的抛物线，在区间负1到1上的最大值出现在顶点处。
现在我们来求二次函数f(t)等于负t平方加t加1在区间负1到1上的最值。由于这是开口向下的抛物线，顶点就是最大值点。利用顶点公式，t等于负b除以2a，得到t等于二分之一。将t等于二分之一代入函数，得到最大值为四分之五。再计算端点处的函数值：f负1等于负1，f1等于1。因此函数的值域为闭区间负1到四分之五。
现在我们来分析第二个三角函数问题。已知函数f(x)等于A乘以sin(ωx加φ)，在x等于π/6处取得最大值2，且图象与x轴相邻两个交点的距离为π/2。首先，相邻零点间距离为π/2，说明半个周期为π/2，因此完整周期T等于π。由周期公式T等于2π除以ω，可得ω等于2。
现在确定函数的解析式。由于函数的最大值为2，所以振幅A等于2。将ω等于2和最大值条件代入，得到2sin(2乘以π/6加φ)等于2，即sin(π/3加φ)等于1。要使正弦值等于1，角度必须等于π/2加2kπ。因此π/3加φ等于π/2，解得φ等于π/6。所以函数的解析式为f(x)等于2sin(2x加π/6)。
最后我们求函数g(x)等于f(x加π/4)的值域。将f(x)的表达式代入，得到g(x)等于2sin(2倍的x加π/4再加π/6)。化简得到g(x)等于2sin(2x加π/2加π/6)，即2sin(2x加2π/3)。由于正弦函数的值域是负1到1，所以g(x)的值域为负2到2。从图像可以看出，函数在最高点达到2，在最低点达到负2，验证了我们的结果。