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函数的定义域是数学中的重要概念,它指的是使函数有意义的自变量的取值范围。根据函数的不同形式,我们可以将定义域问题分为五种常见类型:分式型函数需要分母不为零,根式型函数需要被开方数非负,对数型函数需要真数大于零,抽象函数需要根据已知条件确定,而已知定义域求参数则需要利用定义域的性质建立方程或不等式。
分式型函数的定义域问题是最常见的类型之一。对于分式函数,我们需要保证分母不为零。以函数f(x)等于1除以x减2为例,分母x减2不能等于零,所以x不能等于2。因此,该函数的定义域是负无穷到2的开区间,并上2到正无穷的开区间。在图像上,x等于2处有一条垂直渐近线,函数在此处无定义。
根式型函数的定义域问题需要保证被开方数非负。以函数f(x)等于根号下x减1为例,被开方数x减1必须大于等于零,所以x大于等于1。因此,该函数的定义域是从1到正无穷的闭区间。在图像上,函数从点(1,0)开始,向右上方延伸。当x小于1时,函数无定义,这部分区域用红色阴影表示。
对数型函数的定义域问题需要保证真数大于零。以函数y等于lg括号x减2为例,真数x减2必须大于零,所以x大于2。因此,该函数的定义域是从2到正无穷的开区间。在图像上,x等于2处有一条垂直渐近线,当x接近2时,函数值趋向负无穷。当x等于3时,函数值为0,这是对数函数的一个重要特征点。
抽象函数的定义域需要根据已知条件来确定。例如,已知f(x)的定义域为(-1,0),要求f(2x+1)的定义域,需要让2x+1在(-1,0)范围内,解得x在(-1,-1/2)范围内。已知定义域求参数的问题则需要利用定义域的性质建立方程。例如,若f(x)等于根号下x²+ax+1的定义域为实数集R,则需要x²+ax+1恒大于等于0,即判别式小于等于0,解得a的取值范围是[-2,2]。