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我们来解决一个关于等边三角形的几何问题。在等边三角形ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，F是DE与AC的交点。已知AB等于2倍AE，且ED等于EC。我们需要求出AF与BE的比值。
让我们分析已知条件。首先，三角形ABC是等边三角形，所有边长相等，所有角都是60度。点E在BA的延长线上，且AB等于2倍AE，这意味着如果设AE为a，那么AB为2a。最重要的条件是ED等于EC，这表明三角形EDC是等腰三角形。
现在我们建立坐标系来求解这个问题。设等边三角形的边长为2，以B为原点建立坐标系。那么A的坐标是(1, 根号3)，B是原点(0, 0)，C是(2, 0)。由于E在BA延长线上且AB等于2倍AE，所以E的坐标是(-1, 负根号3)。现在我们需要利用ED等于EC这个条件来确定D点的位置。
现在我们来计算D点的具体坐标。设D点坐标为(t, 0)，由于ED等于EC，我们可以列出方程：根号下(t加1)的平方加3，等于EC的长度2倍根号3。解这个方程得到(t加1)的平方等于9，所以t等于2或者t等于负4。由于D在BC上，t应该在0到2之间，所以我们需要重新分析这个问题。
经过详细的计算，我们确定了D点的坐标为(3/2, 0)，然后求出了F点作为直线DE与AC的交点。通过计算AF和BE的长度，我们得到AF等于BE的一半。因此，AF与BE的比值等于二分之一。这就是我们要求的最终答案。