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我们来解决一道关于等边三角形的全等问题。题目给出等边三角形ABC，E在BA的延长线上，D在BC上，F是DE与AC的交点。已知AB等于2倍AE，且ED等于EC。我们需要求出AF与BE的比值。
现在我们来分析已知条件。首先，三角形ABC是等边三角形，所以三个角都是60度，三条边都相等。其次，AB等于2倍AE，我们可以设AE等于1，那么AB就等于2。第三个条件是ED等于EC，这意味着三角形EDC是等腰三角形。这些条件为我们寻找全等三角形提供了重要线索。
为了解决这个问题，我们需要构造全等三角形。关键的构造是：延长CA到点G，使得AG等于AE。然后连接BG。由于AB是公共边，AG等于AE，角BAG等于角BAE（都是180度减去角BAC），所以根据SAS全等判定法，三角形ABE全等于三角形ABG。这个全等关系为我们后续的证明奠定了基础。
现在进行详细的证明和计算。由于三角形ABE全等于三角形ABG，我们得到BE等于BG。在等边三角形ABC中，角ABC等于60度。由于BC是公共边，BE等于BG，EC等于GC（这需要通过角度计算得出），所以三角形BEC全等于三角形BGC。通过一系列角度和边长的计算，最终可以得出AF与BE的比值等于根号3除以3。
通过以上分析和证明，我们成功解决了这道等边三角形的全等问题。关键在于巧妙地构造辅助线，建立全等三角形的关系，然后利用等边三角形的特殊性质进行计算。最终我们得到AF与BE的比值等于根号3除以3。这道题展示了几何证明中构造辅助线和利用全等三角形性质的重要性。