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我们来解决这道等边三角形的几何问题。题目给出等边三角形ABC，点E在BA的延长线上，点D在BC上，点F是DE与AC的交点。已知条件是AB等于2倍AE，且ED等于EC。我们需要求出AF与BE的比值。
现在我们建立坐标系来分析这个问题。设等边三角形ABC的边长为2a，以B为原点建立坐标系。那么A点坐标为(a, a根号3)，C点坐标为(2a, 0)。根据AB等于2AE的条件，可以得出AE等于a。由于E在BA的延长线上，我们可以确定E点的坐标。接下来利用ED等于EC的条件来确定D点的位置。
现在我们利用ED等于EC这个条件来求解D点的具体位置。设D点坐标为(t,0)，其中t在0到2a之间。我们计算ED和EC的距离。ED的平方等于(t加二分之a)的平方加上四分之三a的平方。EC的平方等于(t减2a)的平方。由于ED等于EC，我们可以建立等式求解，最终得到t等于四分之五a。
接下来我们求直线DE与AC的交点F的坐标。首先写出直线AC的方程：y等于负根号3x加2a根号3。然后写出直线DE的方程：y等于根号3x减四分之五a根号3。将这两个方程联立求解，可以得到交点F的坐标为(八分之十三a，八分之三a根号3)。
最后我们计算AF与BE的比值。首先计算AF的长度，根据A和F的坐标可得AF等于八分之五a根号3。然后计算BE的长度，根据B和E的坐标可得BE等于a根号3。因此AF除以BE等于八分之五a根号3除以a根号3，约分后得到八分之五。所以这道题的答案是AF/BE等于八分之五。