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余弦定理是三角形中边长与角度的重要关系式。对于任意三角形ABC，边c的平方等于边a的平方加上边b的平方，再减去2ab乘以角C的余弦值。今天我们将用向量的方法来证明这个美妙的定理。
为了用向量法证明余弦定理，我们需要将三角形的边用向量来表示。以顶点C为原点，用位置向量a和b分别表示从C到A和从C到B的向量。那么边AB就可以表示为向量b减去向量a。这样我们就建立了向量与三角形边的对应关系。
根据向量的性质，向量的模长平方等于向量与自身的数量积。现在我们计算边c的平方。c的平方等于向量AB的模长平方，也就是向量b减a与自身的数量积。展开这个数量积，我们得到向量b与b的数量积，减去2倍向量a与b的数量积，加上向量a与a的数量积。
现在我们利用向量数量积的几何意义。两个向量的数量积等于它们的模长乘积再乘以夹角的余弦值。因此向量a与向量b的数量积等于a的模长乘以b的模长再乘以角C的余弦值。将这个关系代入我们之前的公式，就得到了c的平方等于a的平方加b的平方减去2ab乘以角C的余弦值。这正是余弦定理的表达式！
通过向量法，我们成功证明了余弦定理。整个证明过程简洁明了：首先用向量表示三角形的边，然后利用向量模长平方等于数量积的性质，最后应用数量积的几何意义得到余弦定理。这种方法不仅展现了向量在几何证明中的强大威力，也体现了数学不同分支之间的内在统一性和优雅性。