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双曲线是平面解析几何中的重要曲线。它的定义是：平面上到两个定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数2a的点的轨迹。这两个定点F1和F2称为双曲线的焦点。对于双曲线上任意一点P，都满足距离差公式：PF1减去PF2的绝对值等于2a。
双曲线有两条重要的轴线。实轴是连接双曲线两个顶点的线段，长度为2a，其中a是从中心到顶点的距离。虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心，长度为2b，其中b是虚轴的半长。实轴决定了双曲线开口的方向，而虚轴与实轴共同决定了双曲线的形状。
双曲线有三个重要的参数：a、b、c。其中a是实半轴长，表示从中心到顶点的距离；b是虚半轴长，决定双曲线的开口程度；c是焦距的一半，表示从中心到焦点的距离。这三个参数之间满足重要的关系式：c的平方等于a的平方加上b的平方。这个关系可以通过直角三角形来理解。
离心率e是双曲线的重要特征参数，定义为c除以a，即焦距的一半与实半轴长的比值。对于双曲线，离心率总是大于1。离心率越大，双曲线的开口越大，形状越扁；离心率越接近1，双曲线越接近抛物线的形状。现在我们来观察不同离心率下双曲线形状的变化。
双曲线的渐近线是其重要特征。渐近线是当x趋于无穷大时，双曲线无限接近但永不相交的直线。对于标准双曲线，渐近线方程为y等于正负b除以a乘以x。我们可以通过构造一个以2a为宽、2b为高的矩形，其对角线的延长线就是双曲线的渐近线。渐近线决定了双曲线在无穷远处的走向。