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微积分是数学中最重要的分支之一，它主要研究变化率和累积量。微积分包含两个核心概念：微分和积分。微分研究函数在某一点的瞬时变化率，就像这条绿色切线所表示的斜率。而积分则研究函数在某个区间内的累积量，就像这些黄色矩形所表示的面积总和。
微分是微积分的第一个核心概念，它研究函数在某一点的瞬时变化率。从几何角度看，微分就是曲线在某点的切线斜率。当点在曲线上移动时，切线的斜率也在不断变化，这就是导数的几何意义。微分的定义是一个极限过程，表示函数值的变化量与自变量变化量的比值在变化量趋于零时的极限。
积分是微积分的第二个核心概念，它研究函数在某个区间内的累积量。从几何角度看，积分就是曲线下方的面积。我们可以用许多小矩形来近似这个面积，当矩形数量越来越多、宽度越来越小时，这些矩形面积的总和就越来越接近真实的面积。这就是积分的基本思想：通过无限细分来求和。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的根本联系。定理告诉我们，如果我们有一个函数，先对它积分再微分，就能得到原函数。反过来，先微分再积分，也能回到原函数。这个定理揭示了微分和积分是互为逆运算的过程，就像加法和减法、乘法和除法一样。
微积分在现实世界中有着极其广泛的应用。在物理学中，我们用微分来分析物体的运动：位移函数的导数是速度，速度函数的导数是加速度。在经济学中，微积分帮助我们进行边际分析和优化决策。在工程学中，微积分用于设计优化和系统分析。在生物学中，微积分模型描述种群增长和生态变化。可以说，微积分是现代科学技术发展的重要数学工具。