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三角函数同角的基本关系是三角学中的重要内容。在单位圆中,我们可以直观地看到同一个角θ的正弦值和余弦值。正弦值对应点的y坐标,余弦值对应点的x坐标。这些函数值之间存在着密切的关系。
平方关系是同角基本关系中最重要的一个。在单位圆中,我们可以看到一个直角三角形,其中斜边长度为1,两条直角边分别为cosθ和sinθ。根据勾股定理,我们得到sin²θ + cos²θ = 1。这个关系对任意角θ都成立。
商数关系告诉我们正切函数等于正弦除以余弦。在单位圆中,我们可以通过延长半径线与x等于1的直线相交,交点的y坐标就是正切值。这样我们就能直观地看到正切、正弦和余弦之间的关系。当角度变化时,这个关系始终成立。
三角函数还有重要的倒数关系。正割函数secθ等于cosθ的倒数,余割函数cscθ等于sinθ的倒数,余切函数cotθ等于tanθ的倒数,也等于cosθ除以sinθ。这些倒数关系与前面学过的平方关系和商数关系一起,构成了三角函数同角基本关系的完整体系。
让我们通过一个具体例子来应用同角基本关系。已知sinθ等于五分之三,且θ在第一象限,求cosθ和tanθ的值。利用平方关系,cos²θ等于1减去sin²θ,即1减去九分之二十五,等于十六分之二十五。因为θ在第一象限,cosθ为正,所以cosθ等于五分之四。再利用商数关系,tanθ等于sinθ除以cosθ,即四分之三。