视频字幕
基本不等式是高中数学的重要内容。对于任意两个正数a和b，算术平均数总是大于或等于几何平均数。也就是说，a加b的和除以2，大于或等于a乘b的算术平方根。当且仅当a等于b时，等号成立。
基本不等式有着直观的几何意义。考虑边长为a和b的矩形，它的面积是ab。如果我们保持周长不变，将矩形变成正方形，正方形的边长就是a加b除以2，面积就是a加b除以2的平方。由于正方形是相同周长下面积最大的矩形，所以a加b除以2的平方大于或等于ab，这就是基本不等式的几何解释。
现在我们来证明基本不等式。证明的关键是从一个显然成立的不等式开始。对于任意实数，我们知道根号a减去根号b的平方大于等于零。将左边展开，得到a减去2倍根号ab加上b大于等于零。将2倍根号ab移到右边，得到a加b大于等于2倍根号ab。最后两边同时除以2，就得到了基本不等式：a加b除以2大于等于根号ab。
基本不等式在解决最值问题时非常有用。主要有两种应用类型：第一种是和定积最大问题。比如，如果x加y等于10，求xy的最大值。根据基本不等式，xy小于等于x加y除以2的平方，也就是10除以2的平方，等于25。当x等于y等于5时取等号。第二种是积定和最小问题。比如，如果xy等于16，求x加y的最小值。根据基本不等式，x加y大于等于2倍根号xy，也就是2倍根号16，等于8。当x等于y等于4时取等号。
使用基本不等式时必须注意三个重要条件。第一是一正，即所有变量都必须是正数。第二是二定，即变量的和或积必须是定值。第三是三相等，即必须能够取到等号，也就是各变量能够相等。这三个条件缺一不可。比如求y等于x加上x分之一在x属于负一到零区间的最小值时，如果直接用基本不等式得到y大于等于2，这是错误的，因为x小于零，不满足一正的条件。因此在应用基本不等式时，一定要仔细检查这三个条件是否都满足。