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今天我们来比较RNN和Transformer这两种重要的序列建模方法。RNN循环神经网络按照时间步骤顺序处理输入序列，每个时刻的输出依赖于前面的隐藏状态。而Transformer则采用注意力机制，可以同时关注序列中的所有位置，实现并行计算。
RNN的数学原理基于隐藏状态的递推更新。在每个时刻t，RNN接收当前输入x_t和前一时刻的隐藏状态h_{t-1}，通过权重矩阵W_h和W_x进行线性变换，再加上偏置项，最后通过tanh激活函数得到当前时刻的隐藏状态h_t。输出y_t则由隐藏状态h_t经过输出权重矩阵W_y变换得到。
Transformer的注意力机制是其核心创新。输入序列通过线性变换得到Query、Key、Value三个矩阵。注意力计算公式为：先计算Q和K转置的矩阵乘积，除以根号d_k进行缩放，然后通过softmax函数归一化得到注意力权重，最后与V矩阵相乘得到输出。这种机制允许模型同时关注序列中的所有位置。
从数学角度对比RNN和Transformer，我们可以看到几个关键差异。首先是计算复杂度：RNN的时间复杂度是O(n)，因为需要按顺序处理每个时间步；而Transformer是O(n²)，因为需要计算所有位置对之间的注意力。在并行性方面，RNN必须串行计算，而Transformer可以并行处理。对于长程依赖，RNN容易出现梯度消失问题，而Transformer通过直接连接能更好地建模长距离关系。
总结来说，RNN和Transformer各有优势。RNN的数学本质是递归更新隐藏状态，具有内存效率高、适合长序列处理的优点，适用于实时处理和资源受限的场景。Transformer基于注意力机制的全连接结构，具有强大的并行计算能力和长程依赖建模能力，在机器翻译和大规模语言模型中表现优异。选择哪种架构需要根据具体任务需求、计算资源和数据特点来决定。