视频字幕
巴塞尔问题是数学史上的一个著名问题，它要求计算所有正整数平方倒数的无穷级数之和。这个问题困扰了数学家们很长时间，直到1734年，年仅27岁的欧拉用巧妙的方法证明了这个无穷级数的和等于π的平方除以6，约等于1.645。今天我们将用几何的方式来理解这个美妙的结果。
为了解决巴塞尔问题，欧拉首先考虑了正弦函数的性质。他发现正弦函数可以表示为一个无穷乘积的形式，这个乘积涉及正弦函数的所有零点。正弦函数的零点位于正负π的整数倍处，即±π、±2π、±3π等等。通过这个无穷乘积表示，欧拉建立了正弦函数与其零点之间的精确关系。
欧拉的天才之处在于将正弦函数的两种不同表示进行比较。一方面，我们有正弦函数的泰勒级数展开，另一方面，我们有基于零点的无穷乘积形式。当我们展开无穷乘积并与泰勒级数的系数进行比较时，特别是x的三次项系数，我们得到了一个关键的等式。这个等式直接将巴塞尔问题与正弦函数联系起来。
为了更直观地理解巴塞尔问题的结果，我们可以用几何的方式来表示。想象一个单位正方形，我们将它按照特定的方式分割成无穷多个矩形。第一个矩形的面积是1，第二个是四分之一，第三个是九分之一，以此类推。所有这些矩形面积的总和就等于π的平方除以6。这个几何解释展示了巴塞尔问题与圆周率π之间的深刻联系。
通过欧拉的巧妙方法，我们终于得到了巴塞尔问题的完整解答。所有正整数平方倒数的无穷级数之和等于π的平方除以6，约等于1.6449。这个美妙的结果展示了数学中看似无关概念之间的深刻联系：自然数的平方、圆周率π、以及无穷级数理论。巴塞尔问题的解决不仅是数学史上的一个里程碑，更展现了数学的统一性和美感。