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我们有一个等腰直角三角形ABC，其中角C等于90度，AC等于BC。D是AB的中点。现在我们要证明CD是AB的垂直平分线。
我们的证明思路是利用等腰三角形的性质。首先证明三角形ACD全等于三角形BCD，然后由全等性质得出CD垂直于AB且AD等于BD，从而证明CD是AB的垂直平分线。
现在我们证明三角形ACD全等于三角形BCD。在这两个三角形中，AC等于BC这是已知条件，CD是公共边，AD等于BD因为D是AB的中点。根据SSS判定法，三角形ACD全等于三角形BCD。
由于三角形ACD全等于三角形BCD，所以对应角相等，角ACD等于角BCD。又因为角ACD加角BCD等于角ACB等于90度，所以角ACD等于角BCD等于45度。进一步可得角CDA等于角CDB等于90度，因此CD垂直于AB。
综合以上证明，我们得出结论：CD既垂直于AB，又平分AB，因此CD是AB的垂直平分线。这样我们就完成了整个证明过程。在等腰直角三角形中，从直角顶点到斜边中点的连线必定是斜边的垂直平分线。