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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理用公式表示就是a的平方加b的平方等于c的平方，其中a和b是直角边，c是斜边。
现在我们来证明勾股定理。我们构造一个边长为a加b的大正方形，在其中放入四个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个三角形的面积加上小正方形的面积。通过面积相等的关系，我们可以推导出a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理在实际生活中有很多应用。比如这个例子：一个梯子靠在墙上，墙高3米，梯子底部距离墙根4米，我们要计算梯子的长度。根据勾股定理，梯子长度的平方等于高度的平方加上距离的平方。代入数值计算，梯子长度的平方等于9加16等于25，所以梯子长度是5米。
满足勾股定理的三个正整数叫做勾股数。最著名的勾股数是3、4、5，因为3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。其他常见的勾股数还有5、12、13，以及8、15、17。这些数组都完美地满足勾股定理的关系式。
勾股定理有着悠久的历史。在中国古代，这个定理被称为勾股定理，而在西方则被称为毕达哥拉斯定理。这个定理大约在公元前一千年就被发现和使用了。勾股定理是几何学的基础定理之一，在建筑工程、导航定位、物理计算和计算机图形学等领域都有广泛的应用。它体现了数学的美妙和实用性。