视频字幕
我们来观察一元三次函数 y = x³ + x² + x + 1 的图像。这是一个典型的三次函数，具有一个拐点。接下来我们将在函数图像上选择一个点，并绘制该点处的切线。
现在我们让切点沿着函数曲线移动。观察切线是如何变化的：当切点从左向右移动时，切线的斜率在不断变化。在函数的极值点附近，切线接近水平；而在其他位置，切线的倾斜程度各不相同。
切线的斜率实际上就是函数在该点的导数值。对于函数 y = x³ + x² + x + 1，它的导数是 f'(x) = 3x² + 2x + 1。我们可以看到，当 x 值改变时，导数值也在变化，这正对应着切线斜率的变化。
现在让我们重点观察函数的特殊点。拐点是二阶导数为零的点，在 x = -1/3 处。当切点经过拐点时，函数的凹凸性发生改变。我们还可以观察到，虽然这个三次函数没有极值点，但切线斜率在不断变化。
通过这个完整的动画演示，我们深入理解了一元三次函数的切线变化规律。切线作为函数图像的局部线性近似，其斜率完全由导数决定。当切点沿曲线移动时，切线连续变化，直观地展现了导数的几何意义和函数的局部性质。