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三角函数最重要的性质之一就是周期性。以正弦函数为例，我们可以看到函数图像每隔2π个单位就会完全重复一次。这个重复的间隔称为函数的周期。正弦函数和余弦函数的基本周期都是2π，这意味着sin(x+2π)等于sin(x)，对于任意实数x都成立。
在单位圆中，我们可以更直观地理解三角函数的周期性。当角度从0开始增加时，点沿着单位圆逆时针运动。当角度增加2π弧度，也就是360度时，点恰好回到起始位置。这意味着此时的正弦值和余弦值与起始时完全相同，这就是三角函数周期性的几何解释。
周期函数有一个重要性质：如果T是函数的周期，那么f(x+T)等于f(x)对所有x都成立。对于正弦函数和余弦函数，它们的基本周期都是2π。这意味着sin(x+2π)等于sin(x)，cos(x+2π)等于cos(x)。我们可以看到，无论从哪个点开始，每隔2π个单位，函数值都会完全重复。
让我们解决这个周期函数问题。已知f(x)是周期为2的偶函数，在区间[2,3]上f(x)等于5减2x。要求f(-3/4)，我们利用周期性：f(-3/4)等于f(-3/4+2)等于f(5/4)。由于函数是偶函数，f(5/4)等于f(-5/4)。再利用周期性，最终可以转化到已知区间内计算，得到答案是3/2。
三角函数的周期性在实际应用中非常重要。它不仅帮助我们简化复杂角度的计算，还在物理学中用于描述波动现象，在工程中分析周期信号。通过理解周期性，我们可以将任意角度的三角函数值转化为基本区间内的计算，这大大简化了数学运算。掌握周期性是学好三角函数的关键。