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这是一道关于三角形角平分线与平行线的综合题。题目给出BD是三角形ABC的角平分线，点E和F分别在BC和AB上，且DE平行于AB，EF平行于AC。我们需要证明BE等于AF，并在给定条件下求四边形ADEF的面积。
现在我们来证明BE等于AF。首先，由于DE平行于AB，根据平行线的性质，角BDE等于角DBA。又因为BD是角平分线，所以角ABD等于角CBD。因此角BDE等于角CBD，这说明三角形BDE是等腰三角形，所以BE等于BD。同样的方法可以证明AF也等于BD，因此BE等于AF。
现在我们来求解第二部分。已知角ABC等于60度，BD等于6。由于三角形BDE是等腰三角形，且角DBE等于60度，BE等于BD等于6，所以三角形BDE实际上是等边三角形，DE也等于6。利用平行线的性质和等腰三角形的特点，我们可以确定四边形ADEF是一个特殊的四边形，其面积可以通过几何关系计算得出。
让我们详细计算四边形ADEF的面积。首先确认三角形BDE是等边三角形，边长都等于6。由于DE平行于AB，EF平行于AC，所以四边形AFED是平行四边形。平行四边形的面积等于底乘以高，这里底边DE等于6，通过几何关系可以计算出高为3倍根号3，因此面积等于6乘以3倍根号3，结果是18倍根号3。
通过这道题的解答，我们总结了几个重要的解题要点。首先是利用角平分线的性质，然后运用平行线的性质，识别出等腰三角形和等边三角形的特征，最后通过平行四边形面积公式进行计算。第一问我们成功证明了BE等于AF，第二问求得四边形ADEF的面积为18倍根号3。这类综合题考查了多个几何知识点的综合运用。