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纳维-斯托克斯方程是流体力学中最重要的方程组之一，由法国工程师纳维和英国数学家斯托克斯在19世纪建立。这个方程组描述了粘性流体的运动规律，包括速度场、压力场以及它们随时间的变化。方程中包含了惯性项、压力梯度项、粘性项和外力项，完整地刻画了流体运动的物理机制。
让我们详细分析纳维-斯托克斯方程的每一项。左边的惯性项表示流体微元的加速度，对流项描述流体自身运动对速度变化的贡献。右边的压力项表示压力梯度对流体的推动作用，粘性项反映流体内部摩擦力的影响，外力项包括重力等外部作用力。这五项共同描述了流体运动的完整物理图像。
当流体密度保持常数时，我们得到不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程。这种简化去除了密度项，引入运动粘度的概念。同时，不可压缩流体必须满足连续性方程，即速度场的散度为零，这表示流体的体积流量守恒。这种形式在水流、低速气流等工程应用中非常重要。
雷诺数是判断流动状态的关键参数，它反映了惯性力与粘性力的比值。当雷诺数小于2300时，粘性力占主导，流动呈现规则的层流状态。当雷诺数大于4000时，惯性力占主导，流动变为不规则的湍流状态。在工程设计中，雷诺数帮助我们预测流动特性，优化管道设计和传热传质过程。
纳维-斯托克斯方程在现代科技中有着极其广泛的应用。从飞机的空气动力学设计到天气预报的大气模拟，从血管中的血流分析到工业管道的流体输送，NS方程都发挥着关键作用。然而，这个方程组的数学理论仍不完善，其解的存在性和唯一性证明是克雷数学研究所设立的千禧年七大数学难题之一，至今悬而未决。