El método Simplex es un algoritmo fundamental para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, este método revolucionó el campo de la optimización. Permite encontrar la solución óptima de un problema lineal explorando los vértices de la región factible de manera eficiente.
Para aplicar el método Simplex, primero debemos formular el problema en forma estándar. Consideremos un ejemplo: maximizar Z igual a 3x₁ más 2x₂, sujeto a las restricciones x₁ más 2x₂ menor o igual a 8, x₁ más x₂ menor o igual a 6, y ambas variables no negativas. Introducimos variables de holgura s₁ y s₂ para convertir las desigualdades en igualdades, creando la tabla Simplex inicial.
El algoritmo Simplex procede por iteraciones. Primero, identificamos la variable entrante seleccionando la columna con el coeficiente más negativo en la fila Z, que es x₁ con menos 3. Luego aplicamos la prueba de razón mínima: dividimos cada elemento del lado derecho entre el elemento correspondiente de la columna pivote. La razón mínima es 6, por lo que s₂ es la variable saliente. El elemento pivote es la intersección: 1 en la fila s₂ y columna x₁.
Ahora realizamos las operaciones de fila para actualizar la tabla. Como el pivote ya es 1, no necesitamos modificar la fila 2. Para la fila 1, restamos la fila 2: obtenemos 0, 1, 1, menos 1, 2. Para la fila Z, sumamos 3 veces la fila 2: obtenemos 0, 1, 0, 3, 18. La nueva tabla muestra que x₁ igual a 6 y s₁ igual a 2 son las variables básicas, con un valor objetivo de Z igual a 18.
Hemos alcanzado la solución óptima porque todos los coeficientes en la fila Z son no negativos, cumpliendo el criterio de optimalidad. La solución óptima es x₁ igual a 6, x₂ igual a 0, con un valor máximo de Z igual a 18. Esto significa que la empresa debe producir 6 unidades del producto 1 y ninguna del producto 2 para maximizar las ganancias. El método Simplex garantiza encontrar la solución óptima, es eficiente para problemas grandes y es la base de muchos software de optimización modernos.