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分段函数是在定义域的不同区间上用不同解析式表示的函数。求分段函数的值域和最值，需要分别分析各段函数的取值范围，然后综合比较得出整体结果。求值域时，先分别求出每段函数在其定义区间内的值域，再将所有分段的值域取并集。求最值时，分别求出每段函数的极值和端点值，然后比较所有值找出最大值和最小值。
现在我们来具体分析这个分段函数的值域。第一段当x小于等于1时，函数f(x)等于x加2，这是一条直线，值域为负无穷到3的闭区间。第二段当x在1到2之间时，函数f(x)等于x的平方，值域为开区间1到闭区间4。第三段当x大于2时，函数值恒为4，值域就是集合4。将这三段的值域取并集，得到整个函数的值域为负无穷到4的闭区间。
接下来我们分析这个分段函数的最值。对于第一段，当x小于等于1时，函数在x等于1处取得该段的最大值3，当x趋向负无穷时函数值趋向负无穷。对于第二段，当x在1到2之间时，函数在x等于2处取得最大值4。对于第三段，函数值恒为4。比较各段的关键值，我们发现全局最大值为4，而由于第一段函数值可以趋向负无穷，所以不存在最小值。
在处理分段函数时，有几个关键注意事项。首先要检查分段点处的连续性，比如在x等于1处，左极限是3，右极限是1，所以函数不连续。其次要确保定义域区间准确且不重叠。对于开区间端点，要考虑极限值而非函数值。最后要确认极值点是否在其定义区间内。这些细节对正确求解分段函数的值域和最值至关重要。
通过这个例子，我们完整地学习了分段函数值域与最值的求解方法。首先分析各段函数的性质，然后求出各段的值域和极值，注意分段点的连续性，最后综合比较得出结果。本例的值域为负无穷到4的闭区间，最大值为4，由于函数值可以趋向负无穷，所以不存在最小值。分段函数在实际问题建模、优化问题求解和函数性质分析等领域都有广泛应用。