我们有一个抛物线方程 y 等于 x 的平方加 bx 加 c，已知这个抛物线经过两个点：A点坐标为(1,1)，B点坐标为(3,1)。我们需要利用这两个条件来求出参数 b 和 c 的值。
现在我们将两个已知点代入抛物线方程。将点A(1,1)代入得到：1等于1的平方加b乘以1加c，化简得到b加c等于0。将点B(3,1)代入得到：1等于3的平方加b乘以3加c，化简得到3b加c等于负8。这样我们就得到了一个二元一次方程组。
现在我们来解这个二元一次方程组。用第二个方程减去第一个方程，得到2b等于负8，所以b等于负4。将b等于负4代入第一个方程，得到负4加c等于0，所以c等于4。因此我们求得参数b等于负4，c等于4。
现在我们验证结果。将b等于负4，c等于4代入原方程，得到抛物线方程y等于x的平方减4x加4。验证点A：当x等于1时，y等于1，正确。验证点B：当x等于3时，y等于1，也正确。计算顶点坐标：x等于负b除以2a等于2，y等于负4，所以顶点P的坐标为(2,负4)。与y轴的交点C坐标为(0,4)。
让我们总结一下这道题的解题过程。题目要求抛物线y等于x的平方加bx加c经过点A(1,1)和B(3,1)，求参数b和c的值。我们通过将已知点代入方程建立方程组，然后解方程组得到b等于负4，c等于4。因此最终的抛物线方程为y等于x的平方减4x加4。这是一个开口向上、顶点在(2,负4)的抛物线。