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我们来分析这道关于抛物线和圆的几何问题。首先理解题目条件：抛物线 x² = 2py 的焦点为 F，圆 M 的方程为 x² + (y + 4)² = 1。对于抛物线 x² = 2py，其焦点位于 (0, p/2)。圆 M 的圆心在 (0, -4)，半径为 1。题目告诉我们焦点 F 与圆上点的最小距离为 4，这是解题的关键条件。
现在我们来求解参数 p 的值。焦点 F 的坐标是 (0, p/2)，圆心 M 的坐标是 (0, -4)。焦点到圆心的距离是 p/2 加 4。由于圆的半径是 1，所以焦点到圆上点的最小距离等于焦点到圆心的距离减去半径，即 p/2 + 4 - 1 = p/2 + 3。根据题意，这个最小距离等于 4，所以 p/2 + 3 = 4，解得 p/2 = 1，因此 p = 2。
现在我们分析抛物线的切线性质。已知抛物线方程为 x² = 4y，从圆上任意一点 P 可以向抛物线引两条切线。对于抛物线 x² = 4y，过切点 (x₀, y₀) 的切线方程为 x₀x = 2(y + y₀)。从外部点引切线时，需要利用切线与抛物线相切的条件来确定切点坐标。图中展示了从点 P(0, -3) 向抛物线引出的两条切线 PA 和 PB，其中 A 和 B 是切点。
现在我们计算三角形 PAB 的面积。设圆上一点 P 的坐标为 (cosθ, -4 + sinθ)，从 P 向抛物线引两条切线，切点分别为 A 和 B。利用切线的性质，我们可以建立方程求出切点坐标。通过韦达定理，得到 x₁ + x₂ = 2cosθ，x₁x₂ = -16 + 4sinθ。三角形面积可以用底边 AB 的长度乘以高再除以 2 来计算。经过复杂的计算，当 θ = -π/2 时，三角形面积达到最大值 32。
让我们总结这道题的完整解答。第一问，通过分析焦点到圆的最小距离等于 4 这个条件，我们求得参数 p 等于 2，因此抛物线方程为 x² = 4y。第二问，我们需要求从圆上一点向抛物线引切线形成的三角形面积的最大值。通过建立切线方程，利用韦达定理，并结合三角函数的性质，最终得到三角形面积的最大值为 32。图中展示的是取得最大面积时的情况，此时点 P 位于圆的最低点。