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容量限制设施选址问题是设施选址问题中的一个经典模型。它在基本设施选址问题的基础上增加了设施容量限制，更加贴合实际应用场景。问题描述为：给定一组具有特定需求量的客户点，和一组具有固定开设成本及有限服务容量的候选设施点。需要决定在哪些候选点开设设施，以及如何将客户需求分配给这些已开设的设施，使得在满足每个设施的容量限制和每个客户的需求的前提下，系统的总成本最小化。
CFLP问题可以表述为一个混合整数规划问题。目标函数由两部分成本组成：第一项为运输成本，表示从所有设施到所有客户的总运输费用；第二项为设施开设成本，表示开设所选设施的固定费用。约束条件包括：需求满足约束，确保每个客户的需求得到完全满足；容量限制约束，确保每个设施的服务量不超过其容量；以及设施数量限制等。
CFLP模型包含四个主要约束条件。需求满足约束确保每个客户的需求完全得到满足，即所有设施向某个客户的供应量之和等于该客户的需求量。容量限制约束保证每个设施的总服务量不超过其容量，且只有开设的设施才能提供服务。设施数量约束限制了可以开设的设施总数不超过预设值k。这些约束条件共同确保了解的可行性和实际意义。
通过一个具体的数值示例来演示CFLP问题的求解过程。假设有3个候选设施点和2个客户点，各设施的容量和开设成本不同，客户需求量分别为70和80单位，最多可开设2个设施。经过优化求解，最优方案是开设设施F1和F2，F1服务客户C1，F2服务客户C2。总成本包括运输成本320和开设成本110，合计430。这个解既满足了所有约束条件，又实现了成本最小化的目标。
CFLP问题在实际中有广泛应用，包括物流配送中心选址、制造工厂布局规划、医疗服务网点设置和零售连锁店选址等。求解方法多样，包括精确算法如分支定界法，启发式算法如贪心算法，元启发式算法如遗传算法，以及商业求解器如CPLEX和Gurobi。随着问题规模的增大，求解复杂度呈指数增长，因此需要根据具体情况选择合适的求解方法。未来的发展方向包括提高大规模问题的求解效率、考虑不确定性因素以及扩展到多目标优化等。