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我们使用矢势法来求解理想导体球的电流分布问题。假设球面上的电流分布为 i 等于 i0 乘以 sin theta 乘以 phi 方向的单位矢量。通过积分可以求解出球内和球外的矢势表达式。球内矢势正比于位置矢量，球外矢势则按距离的三次方衰减。
现在我们详细推导球内矢势的表达式。根据安培环路定律，矢势的旋度等于磁导率乘以电流密度。球面上的电流密度可以表示为 i0 sin theta 乘以 delta 函数。通过求解这个微分方程，并考虑边界条件，我们得到球内矢势的解析表达式。
接下来推导球外矢势的表达式。在球外区域，矢势满足拉普拉斯方程。考虑到远场边界条件，矢势必须按距离的幂次衰减。通过求解并应用边界处的连续性条件，我们得到球外矢势按距离的三次方衰减，这体现了偶极子场的特征。
现在验证我们得到的解是否满足边界条件。在球面边界处，矢势的切向分量必须连续。我们计算球内和球外矢势在边界处的值，发现它们完全相等，这证明了我们的解是正确的。边界条件的满足确保了解的物理合理性和数学一致性。
总结矢势法的求解结果和物理意义。球内矢势与位置成正比，表现为均匀场分布；球外矢势按距离三次方衰减，体现了偶极子场的特征。这种解析解不仅满足了所有边界条件，还揭示了导体球电流分布的深层物理机制，为电磁场理论提供了重要的理论基础。