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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在中国古代就被发现，被称为勾股定理，其中勾是较短的直角边，股是较长的直角边，弦是斜边。
现在我们来证明勾股定理。我们构造一个边长为a加b的大正方形，在其中放入四个相同的直角三角形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个三角形的面积加上中间小正方形的面积。四个三角形的面积是二倍ab，中间正方形的面积是c的平方。因此我们得到等式，化简后就是勾股定理。
让我们看一个具体的应用例子。已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。根据勾股定理，c的平方等于3的平方加4的平方，即9加16等于25，所以c等于5。这在实际生活中很有用，比如计算梯子靠墙时的长度，或者建筑工程中的距离测量。
勾股定理的逆定理告诉我们，如果三角形的三边长满足勾股关系，那么这个三角形就是直角三角形。例如，边长为3、4、5的三角形，因为3的平方加4的平方等于25，正好等于5的平方，所以它是直角三角形。而边长为2、3、4的三角形，因为2的平方加3的平方等于13，不等于4的平方16，所以它不是直角三角形。
勾股定理在实际生活中有很多应用。在建筑工程中，工人需要确定梯子的安全摆放位置。如果梯子长5米，需要距离墙面4米放置，那么梯子能够到达的高度就是3米。在测量中，我们也可以利用勾股定理间接测量难以直接测量的距离，比如通过影子长度和视线距离来计算树的高度。