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一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用。今天我们来学习如何用一元二次方程解决实际问题。常见的应用包括面积问题、运动问题、利润问题和几何问题。让我们从一个矩形面积问题开始。假设有一个矩形，长为x加3米，宽为x米，面积是28平方米，我们需要求出x的值。根据面积公式，可以列出方程x乘以x加3等于28，整理后得到标准形式x的平方加3x减28等于0。
现在我们来求解这个一元二次方程x的平方加3x减28等于0。我们使用因式分解法。首先寻找两个数，使得它们相乘等于负28，相加等于3。经过尝试，我们发现7乘以负4等于负28，7加负4等于3。因此可以将方程改写为x的平方加7x减4x减28等于0。提取公因式得到x乘以x加7减4乘以x加7等于0，即x减4乘以x加7等于0。所以x减4等于0或x加7等于0，解得x等于4或x等于负7。由于长度不能为负数，所以x等于4米。
现在我们来看一个抛物运动问题。从地面向上抛出一个球，高度随时间的变化公式为h等于负5t的平方加20t。我们需要求解两个问题：球何时落地，以及球的最大高度。首先求球何时落地，即高度h等于0的时候。将h等于0代入公式，得到负5t的平方加20t等于0。提取公因式t，得到t乘以负5t加20等于0。所以t等于0或负5t加20等于0，解得t等于0或t等于4。t等于0是抛出时刻，t等于4秒是落地时刻。从图像可以看出，抛物线在t等于2秒时达到最大高度20米。
现在我们来看一个利润问题。某商品成本20元每件，当售价为x元时，日销量为100减2x件。利润等于售价减成本乘以销量，即x减20乘以100减2x。现在要求日利润为800元时的售价。将利润公式展开得到100x减2x的平方减2000加40x等于800。整理后得到负2x的平方加140x减2800等于0，除以负2得到x的平方减70x加1400等于0。通过因式分解得到x减30乘以x减40等于0，所以x等于30或x等于40。从图像可以看出，当售价为30元或40元时，日利润都是800元，而在售价35元时利润达到最大值900元。
最后我们来总结一元二次方程应用题的解题步骤。第一步是审题，要仔细理解题意，找出已知量和未知量。第二步是设元，通常设未知数为x。第三步是列方程，根据题目中的等量关系列出一元二次方程。第四步是解方程，使用因式分解法、配方法或求根公式求出方程的解。第五步是检验，要检查求出的解是否符合实际意义，比如长度不能为负数。第六步是答题，写出最终答案。我们学习了三种常见的应用类型：面积问题使用长乘以宽的公式，运动问题使用位移公式，利润问题使用售价减成本乘以销量的公式。掌握这些步骤和公式，就能顺利解决一元二次方程的应用问题。