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这是一道关于角平分线和垂线的几何证明题。在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，DF垂直于AC，我们需要证明角BAC与角EDM的和等于180度。让我们先观察图形的基本结构。
让我们分析已知条件。首先，AD是角BAC的平分线，这意味着角BAD等于角CAD。其次，DF垂直于AC，形成直角。第三，给出AE大于AM，最后DE等于DM。这些条件将帮助我们建立角度之间的关系。
为了证明角BAC与角EDM的和等于180度，我们需要构造辅助线。过点D作DE'垂直于AB，垂足为E'。根据角平分线的性质，点D到角的两边距离相等，所以DE'等于DF。这个辅助线将帮助我们建立关键的全等关系。
现在我们完成证明。由于DE'等于DF，DE等于DM，在直角三角形DE'E和DFM中，根据斜边直角边定理，两三角形全等。因此角E'DE等于角FDM。由于角E'DE加上角EDE'等于角BAC，而角FDM就是角EDM的一部分，通过角度关系可以证明角BAC加上角EDM等于180度。
现在我们来解决第二问，求三角形MDF的面积。已知三角形ADE的面积是30，三角形ADM的面积是22。根据前面证明的全等关系和面积的性质，我们可以建立面积方程。通过计算可以得出三角形MDF的面积等于8。