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我们来看这道几何证明题。在直角三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于BC，这是一个等腰直角三角形。D是BC的中点，CE垂直于AD，垂足为E，BF平行于AC，交CE的延长线于点F。我们需要证明AB垂直平分DF。
让我们仔细分析已知条件。首先，三角形ABC是直角三角形，角ACB等于90度。其次，AC等于BC，所以这是等腰直角三角形。D是BC的中点，CE垂直于AD，BF平行于AC。这些条件为我们的证明提供了重要的几何关系。
为了便于计算，我们建立坐标系。以C为原点，CA为y轴正方向，设AC等于BC等于2a。这样C的坐标是原点，A的坐标是0逗号2a，B的坐标是2a逗号0，D作为BC的中点坐标是a逗号0。通过坐标几何的方法，我们可以更精确地分析各点的位置关系。
现在我们来计算关键点的坐标。直线AD的方程是y等于负2x加2a。由于CE垂直于AD，所以CE的斜率是二分之一，直线CE的方程是y等于二分之一x。联立这两个方程，可以求得E点的坐标是五分之四a逗号五分之二a。由于BF平行于AC，所以直线BF的方程是x等于2a，与CE延长线的交点F的坐标是2a逗号a。
最后我们来完成证明。首先求出DF的中点M，坐标是四分之七a逗号二分之a。通过计算可以验证点M确实在直线AB上。接下来证明AB垂直于DF。直线AB的斜率是负1，直线DF的斜率是1，两斜率的乘积是负1，所以AB垂直于DF。因此，AB既通过DF的中点，又垂直于DF，所以AB垂直平分DF。证明完毕。