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余数定理是多项式代数中的一个基本定理。当我们用多项式 f(x) 除以 (x-a) 时，得到的余数恰好等于 f(a) 的值。这个定理为我们提供了一种快速计算多项式除法余数的方法。
让我们通过一个具体例子来验证余数定理。当我们用多项式 f(x) = x³ - 2x² + x + 2 除以 (x-2) 时，通过长除法得到商为 x² + 1，余数为 4。同时，直接计算 f(2) 的值：2³ - 2×2² + 2 + 2 = 8 - 8 + 2 + 2 = 4。可以看到，余数确实等于 f(2) 的值。
余数定理的一般形式可以表述为：任意多项式 f(x) 除以 (x-a) 时，可以写成 f(x) = (x-a)·q(x) + r 的形式，其中 q(x) 是商多项式，r 是余数。关键在于，这个余数 r 恰好等于 f(a) 的值。这个等式为我们提供了一个强有力的工具来快速求解多项式除法的余数。
余数定理在实际中有很多重要应用。例如，我们可以用它来判断一个一次多项式是否为高次多项式的因式。对于多项式 f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6，要判断 (x-3) 是否为其因式，我们只需计算 f(3) 的值。如果 f(3) = 0，那么 (x-3) 就是 f(x) 的因式。计算得 f(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0，所以 (x-3) 确实是 f(x) 的因式。
让我们总结一下余数定理的要点。余数定理告诉我们，当多项式 f(x) 被 (x-a) 除时，余数等于 f(a)。这个简单而强大的定理有广泛的应用：可以快速计算多项式在某点的值，判断因式关系，以及求解多项式方程。记住核心公式：f(x) = (x-a)·q(x) + f(a)，其中关键是余数等于 f(a)。掌握余数定理将为你解决多项式问题提供有力工具。