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实数是数学中一个重要的概念，它包括了有理数和无理数两大类。有理数是可以表示为两个整数之比的数，比如二分之一、四分之三等。而无理数则是不能表示为两个整数之比的数，比如根号二、圆周率π等。在数轴上，有理数和无理数密密麻麻地分布着，共同构成了完整的实数系统。
无理数的发现是数学史上的重要时刻。公元前五世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯在研究边长为1的正方形时，发现其对角线长度√2无法用有理数表示。这个发现与毕达哥拉斯学派'万物皆数'的哲学信念产生了冲突，引发了数学史上的第一次危机。传说希帕索斯因为这个发现而被投入大海，但这个发现却开启了数学新的篇章。
现在我们来看√2无理性的严格证明。我们使用反证法：首先假设√2是有理数，即可以写成两个互质整数p和q的比值。将等式两边平方，得到2等于p的平方除以q的平方。整理后得到2q的平方等于p的平方。由于p的平方是偶数，所以p必须是偶数。设p等于2k，代入得到4k的平方等于2q的平方，化简后得到2k的平方等于q的平方。这说明q的平方也是偶数，因此q也是偶数。但这与我们的假设矛盾，因为p和q都是偶数就不可能互质。因此√2不是有理数，即√2是无理数。
实数系统有着清晰的层次结构。最内层是自然数，包含1、2、3等正整数。扩展后得到整数，包含了负数和零。再扩展得到有理数，即所有可以表示为两个整数比值的数，包括分数和有限小数、循环小数。而无理数则是那些不能表示为整数比值的数，如√2、π、e等。有理数和无理数合起来构成了完整的实数系统。一个重要的性质是，有理数和无理数在数轴上都是稠密分布的，也就是说在任意两个实数之间，都存在无穷多个有理数和无穷多个无理数。