视频字幕
高层建筑在风力作用下会产生晃动，为了减小晃动幅度，通常会安装阻尼器。图中显示了一个典型的摆式阻尼器系统，包括质量为M的谐振子和质量为m、摆臂长度为l的单摆。整个系统受到水平强迫力F的作用。
现在我们来分析这个强迫振动问题。系统受到周期性强迫力F等于H乘以cos omega t的作用。我们需要求出谐振子在这个强迫力作用下产生的稳定振动振幅。这是一个典型的强迫振动问题，需要建立运动方程并求解稳态响应。
为了建立运动方程，我们首先选择坐标系。设谐振子的位移为x，摆的角位移为theta。谐振子受到外力F、弹簧恢复力负kx，以及摆对它的反作用力。摆受到重力、悬点加速度产生的惯性力等。这是一个二自由度耦合振动系统。
现在推导运动方程组。对谐振子M，水平方向受力包括外力F、弹簧力负kx和摆的张力T的水平分量。对摆锤m，在小角度近似下，切向运动方程为ml平方theta双点等于负mgl theta减去ml x双点。消除张力T后，得到两个耦合的运动方程。
我们首先了解问题背景。高层建筑在风力作用下会发生振动，为了减小振动幅度，通常安装阻尼器。系统可以简化为质量M的谐振子加上质量m、摆长l的单摆。风力F(t)等于H乘以cos omega t，作为水平方向的强迫力。
接下来建立运动方程。我们选择建筑物的水平位移x和摆的角位移θ作为广义坐标。利用拉格朗日方法，在小角度近似下，得到两个耦合的微分方程。第一个方程描述水平方向的力平衡，第二个方程描述摆的角运动。
为了求解稳态振动，我们假设解的形式为x等于A cos omega t加phi1，theta等于B cos omega t加phi2。为了简化计算，我们采用复数方法，将解表示为复指数函数的实部。这样可以将微分运算转化为代数运算。
将稳态解代入运动方程组。首先计算二阶导数，得到负omega平方乘以复振幅。代入原方程并消去共同的时间因子后，得到关于复振幅的线性代数方程组，可以用矩阵形式表示。利用克拉默法则求解。
应用克拉默法则求解。计算分子行列式为H乘以g减l平方omega平方。复振幅等于分子除以分母行列式。最终的实振幅就是复振幅的模。经过整理，得到谐振子稳态振动振幅的最终表达式。这就是第一小问的完整答案。