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快速傅立叶变换是数字信号处理中的核心算法。它能够将时域信号转换为频域表示，揭示信号中包含的频率成分。比如这个复合信号包含了两个不同频率的正弦波，通过FFT变换后，我们可以清楚地看到频谱中对应的频率峰值。
离散傅立叶变换的核心是这个数学公式。它通过复指数函数将时域信号分解为不同频率的成分。这里我们看到一个8点的正弦信号，经过DFT变换后，在频域中显示出对应的频率峰值。每个频率分量都对应着原始信号中的周期性成分。
FFT算法的核心是分治思想。我们将N点的DFT问题递归地分解为更小的子问题。每次分解都将问题规模减半，直到达到最小的单点DFT。这种分解策略使得计算复杂度从DFT的N平方降低到FFT的N乘以logN，这是一个巨大的性能提升。
蝶形运算是FFT算法的基本计算单元。每个蝶形运算接收两个复数输入A和B，通过乘以旋转因子并进行加减运算，产生两个新的输出。这种运算模式在数据流图中呈现蝴蝶形状，因此得名蝶形运算。通过大量的蝶形运算组合，我们就能完成整个FFT变换。
FFT的应用非常广泛，几乎涉及所有需要频域分析的领域。在音频处理中，FFT用于频谱分析和音效处理；在图像处理中，FFT用于图像压缩和滤波；在通信系统中，FFT是OFDM调制的核心技术。FFT相比传统DFT的巨大性能优势，使得实时信号处理成为可能，这就是为什么FFT被称为二十世纪最重要的算法之一。