We have a constraint optimization problem. Given that x and y are real numbers satisfying x squared plus y squared equals 9, we need to find the maximum and minimum values of a equals x plus square root of 3 times y. The constraint represents a circle with radius 3 centered at the origin.
这是一个约束优化问题。我们需要在圆形约束条件 x平方加y平方等于9 的条件下，求目标函数 a等于x加根号3倍y 的最大值和最小值。圆的半径是3，圆心在原点。
目标函数 a等于x加根号3倍y 表示一族平行直线。每个a值对应一条具有相同斜率的直线。为了找到最大值和最小值，我们需要找到与圆相切的直线。让我们观察当a值变化时这些直线是如何移动的。
要找到最值，我们需要分析切线条件。当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。使用点到直线距离公式，我们得到距离为a的绝对值除以2。令其等于半径3，得到a的绝对值等于6，因此a等于正负6。
现在我们计算切点的坐标。切点位于圆心到切线的垂线上，也就是沿着法向量的方向。直线x加根号3倍y等于a的法向量是(1, 根号3)。单位法向量是法向量除以其模长2。因此切点坐标为正负二分之三和正负二分之三根号3。我们可以验证：当x等于二分之三，y等于二分之三根号3时，a确实等于6。
总结一下我们的结果。在约束条件x平方加y平方等于9下，目标函数a等于x加根号3倍y的最大值是6，在点(二分之三, 二分之三根号3)处取得；最小值是负6，在点(负二分之三, 负二分之三根号3)处取得。这种几何方法直观地展示了约束优化问题的本质，即在约束条件下寻找目标函数的极值点。