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我们来解决一个约束优化问题。已知x和y是实数，满足x的平方加y的平方等于9，要求a等于x加根号3倍y的最大值和最小值。首先分析约束条件，x平方加y平方等于9表示一个圆心在原点、半径为3的圆。
我们用几何方法来解决这个问题。将目标函数a等于x加根号3倍y看作直线族，即x加根号3倍y等于a。这是一组平行直线，当a的值不同时，直线在坐标平面上平移。当直线与圆相切时，a取得最大值和最小值。直线的法向量是1逗号根号3。
现在计算切线方程。直线x加根号3倍y等于a与圆x平方加y平方等于9相切时，圆心到直线的距离等于半径。距离公式为a的绝对值除以根号下1的平方加根号3的平方，等于a的绝对值除以2，这个距离等于半径3。因此a的绝对值等于6，即a等于正负6。两条切线分别是x加根号3倍y等于6和x加根号3倍y等于负6。
我们用参数方程来验证这个结果。设x等于3倍cosθ，y等于3倍sinθ，这样就满足了约束条件。将参数方程代入目标函数，得到a等于3倍cosθ加3倍根号3倍sinθ。通过三角恒等变换，可以化简为6倍sin括号θ加π除以6。由于正弦函数的值域是负1到1，所以a的最大值是6，最小值是负6。