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微分是微积分中的一个核心概念，用于描述函数在某一点处的变化率。我们可以从函数图像上直观地理解微分的意义。例如，对于函数 f(x) = x²，我们可以在图像上取两点，连接它们形成一条割线。割线的斜率表示函数在这两点之间的平均变化率。
当两点之间的距离趋近于零时，割线的斜率就趋近于函数在该点的导数，即切线的斜率。我们可以通过动画演示这个过程。随着 Δx 趋近于零，割线逐渐趋近于切线。
导数的定义是函数增量与自变量增量比值的极限。这个公式表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
我们来看一个具体的例题，计算函数 f(x) = x² 在 x = 2 处的导数。首先，我们画出函数图像，并标出点 (2, 4)。然后，我们计算该点的切线斜率。根据导数公式，f'(x) = 2x，所以 f'(2) = 4。
微分在现实生活中有广泛应用。例如在物理学中，我们可以用微分来计算速度和加速度。如果位移函数是 s(t) = 2t²，那么速度函数 v(t) = s'(t) = 4t。在经济学中，微分可以用来分析边际成本和收益。在工程学中，它用于优化设计和控制系统。在生物学中，微分帮助我们研究种群增长速率。