视频字幕
柯西不等式是高考数学中的重要工具，能够快速解决一些不等式问题。它的标准形式是：两个平方和的乘积大于等于它们对应项乘积和的平方。在二维情形下，就是a平方加b平方的和乘以c平方加d平方的和大于等于ac加bd的平方。等号成立的条件是存在实数k使得ai等于k乘以bi。
柯西不等式也可以用向量来表示，这有助于我们理解其几何意义。向量形式为：向量a点积向量b的绝对值小于等于向量a的模长乘以向量b的模长。我们来看一个应用示例：若向量a等于(3,4)，向量b等于(5,12)，则它们点积的绝对值小于等于它们模长的乘积。向量a的模长等于根号下3的平方加4的平方等于5，向量b的模长等于根号下5的平方加12的平方等于13。向量a点积向量b的绝对值等于3乘以5加4乘以12的绝对值等于63。显然63小于等于5乘以13等于65。
在高考代数题中，柯西不等式常用于求最值或证明不等式。我们来看一个典型问题：已知x加y加z等于1，求x平方加y平方加z平方的最小值。解法如下：由柯西不等式，1的平方加1的平方加1的平方的和乘以x平方加y平方加z平方的和大于等于1乘以x加1乘以y加1乘以z的平方。即3乘以x平方加y平方加z平方大于等于x加y加z的平方等于1的平方等于1。所以x平方加y平方加z平方大于等于三分之一。当x等于y等于z等于三分之一时等号成立。
在解析几何中，柯西不等式可用于求距离的最值问题。我们来看一个典型问题：点P(x,y)在直线x加y等于2上，求点P到原点距离的最小值。解法如下：点P到原点距离等于根号下x平方加y平方。由柯西不等式，1的平方加1的平方的和乘以x平方加y平方的和大于等于1乘以x加1乘以y的平方。即2乘以x平方加y平方大于等于x加y的平方等于4。所以x平方加y平方大于等于2，即根号下x平方加y平方大于等于根号2。当x等于y等于1时等号成立，最小距离为根号2。
在三角函数问题中，柯西不等式也有重要应用。我们来看一个典型问题：已知sinα加cosα等于二分之一，求sinα乘以cosα的最大值。解法如下：设a1等于sinα，a2等于cosα，b1等于1，b2等于1。由柯西不等式，sinα的平方加cosα的平方的和乘以1的平方加1的平方的和大于等于sinα加cosα的平方。即1乘以2大于等于二分之一的平方等于四分之一。显然成立。但我们需要求sinα乘以cosα的最大值。sinα加cosα的平方等于sinα的平方加2倍sinα乘以cosα加cosα的平方等于1加2倍sinα乘以cosα。所以四分之一等于1加2倍sinα乘以cosα。2倍sinα乘以cosα等于负四分之三。sinα乘以cosα等于负八分之三。
掌握柯西不等式的应用技巧能帮助我们在高考中快速解题。主要有三个技巧：第一，构造合适的向量或数组；第二，注意等号成立的条件；第三，灵活运用变形形式。我们来看一个示例：求函数f(x)等于3x加4倍根号下1减x平方的最大值。设a1等于3，a2等于4，b1等于x，b2等于根号下1减x平方。由柯西不等式，3的平方加4的平方的和乘以x的平方加根号下1减x平方的平方大于等于3x加4倍根号下1减x平方的平方。即9加16的和乘以x平方加1减x平方大于等于3x加4倍根号下1减x平方的平方。25乘以1大于等于3x加4倍根号下1减x平方的平方。所以3x加4倍根号下1减x平方小于等于5。当3除以4等于x除以根号下1减x平方时等号成立。