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同学们好，今天我们来学习柯西不等式。柯西不等式是高考数学中的一个重要工具，它能帮助我们快速解决一些不等式问题。柯西不等式的一般形式是：两个平方和的乘积大于等于它们对应项乘积之和的平方。等号成立的条件是两个序列成比例。
我们先来看二维柯西不等式。在二维情况下，柯西不等式可以写成：(a₁平方 + a₂平方)(b₁平方 + b₂平方) 大于等于 (a₁b₁ + a₂b₂)的平方。从向量的角度理解，这就是两个向量模长的平方乘积大于等于它们点积的平方。
柯西不等式在高考中常用于求最值问题，特别是条件最值问题。我们来看一个典型例子：已知x加2y等于1，求x平方加y平方的最小值。我们可以构造柯西不等式，将约束条件和目标函数联系起来。通过柯西不等式，我们得到5倍的(x平方加y平方)大于等于(x加2y)的平方，也就是1。因此x平方加y平方的最小值是五分之一。
柯西不等式有许多变形形式，在解题时灵活运用可以简化计算。比如，我们可以将它变形为分数形式：a₁平方除以b₁加a₂平方除以b₂大于等于(a₁加a₂)的平方除以(b₁加b₂)，其中b₁和b₂都大于零。还可以写成根式形式：两个平方和的平方根的乘积大于等于对应项乘积之和的绝对值。这些变形在解决具体问题时非常有用。
最后我们通过一道高考真题来演示柯西不等式的实战应用。已知正数a和b满足a加b等于1，求证：a分之一加b分之一大于等于4。我们可以构造柯西不等式，将左边的表达式写成(a加b)乘以(a分之一加b分之一)的形式。根据柯西不等式，这个乘积大于等于根号a乘以根号a分之一加根号b乘以根号b分之一的平方。化简后得到1乘以(a分之一加b分之一)大于等于(1加1)的平方，也就是4。因此原不等式得证。
通过今天的学习，我们总结一下柯西不等式的应用技巧。第一，要识别结构特征，看题目是否符合柯西不等式的形式。第二，合理构造序列，将题目中的表达式转化为柯西不等式的形式。第三，注意等号成立条件，这在求最值问题中特别重要。第四，灵活运用变形公式，根据题目特点选择合适的变形形式。掌握这些技巧，在高考中就可以快速解决相关问题了。