鹏鹏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方。例如，三加二倍根号二等于一加根号二的平方。
现在我们来解决第一个问题。设 a 加 b 倍根号三等于 c 加 d 倍根号三的平方。我们需要展开右边的平方项，并比较有理数部分和无理数部分的系数。
通过比较两边的系数，我们可以得到答案。有理数部分对应相等，所以 a 等于 c 的平方加三倍 d 的平方。无理数部分对应相等，所以 b 等于二倍 c 乘以 d。
第二个问题，已知 x 加四倍根号七等于 m 加 n 倍根号七的平方，其中 x、m、n 都是正整数。我们需要求出 x 的值。
通过比较两边的系数，我们得到无理数部分四等于二倍 m 乘以 n，即 m 乘以 n 等于二。有理数部分 x 等于 m 的平方加七倍 n 的平方。因为 m 和 n 都是正整数，所以可能的组合有两种：m 等于一、n 等于二，或者 m 等于二、n 等于一。代入计算得到 x 等于十一或二十九。
第三个问题，化简根号下九减四倍根号五。我们可以假设这个式子等于 a 减 b 倍根号五的平方，然后展开并比较系数。
通过比较系数，我们得到两个方程：有理数部分九等于 a 的平方加五倍 b 的平方，无理数部分四等于二倍 a 乘以 b，即 a 乘以 b 等于二。
由于 a 乘以 b 等于二，且 a 和 b 都是正整数，可能的组合只有两种：(a,b) 等于 (1,2) 或 (2,1)。我们代入第一个方程验证，当 (a,b) 等于 (1,2) 时，a 的平方加五倍 b 的平方等于二十一，不等于九，不满足。当 (a,b) 等于 (2,1) 时，a 的平方加五倍 b 的平方等于四加五等于九，满足条件。
因此，根号下九减四倍根号五等于二减根号五的绝对值。但因为根号五约等于二点二三六，大于二，所以二减根号五小于零。因此最终答案是根号五减二。